Conseils utiles

Quelques informations sur le cube et sur la manière de calculer la surface du cube

Énoncé du problème: La surface du cube est S. Trouve son volume.

Cette tâche fait partie de l’examen en mathématiques de base pour la 11e année, numéro 13 (problèmes de stéréométrie).

Considérez comment de tels problèmes sont résolus par l'exemple et obtenez une solution générale.

La surface du cube est de 24. Trouvez son volume.

La surface du cube est égale à la somme des surfaces de toutes ses faces. Un cube a 6 faces identiques. Si nous prenons 1 côté pour a, la surface du cube sera égale à:

Nous trouvons dans l'égalité obtenue le côté du cube:

Reste à trouver le volume du cube. Pour ce faire, vous devez élever le côté dans un cube:

En termes généraux, la solution à ce problème en stéréométrie est la suivante:

a = √ S / 6 - côté du cube

V = a 3 = (√ S / 6) 3

où S est la surface du cube.

Il ne reste plus qu'à substituer des valeurs spécifiques et calculer le résultat.

Partager l'article avec ses camarades "Étant donné la surface du cube, trouvez son volume - comment résoudre».

Y a-t-il une autre solution?

Suggérez un autre moyen de résoudre le problème. "Étant donné la surface du cube, trouvez son volume". Ce sera peut-être plus compréhensible pour quelqu'un:

Quelle est la zone?

Cette valeur est généralement désignée par la lettre latine S. De plus, cela est vrai pour les matières scolaires telles que la physique et les mathématiques. Il est mesuré en unités carrées de longueur. Tout dépend des données dans le problème de quantité. Il peut être mm, cm, m ou km au carré. De plus, il peut y avoir des cas où les unités ne sont même pas indiquées. Nous parlons simplement de l'expression numérique de la zone sans nom.

Alors, quelle est la région? C'est une valeur qui est une caractéristique numérique de la figure ou du corps en question. Elle montre la taille de sa surface, qui est limitée par les côtés de la figure.

Quelle forme s'appelle un cube?

Cette figure est un polyèdre. Et pas facile. Il a raison, c’est-à-dire qu’il a tous les éléments égaux. Que ce soit des côtés ou des visages. Chaque surface de cube est un carré.

Un autre nom pour le cube est l'hexaèdre régulier, si en russe, alors l'hexagone. Il peut être formé d'un prisme quadrangulaire ou d'un parallélépipède. Sous la condition que toutes les arêtes soient égales et que les angles forment 90 degrés.

Cette figure est si harmonieuse qu'elle est souvent utilisée dans la vie quotidienne. Par exemple, les premiers jouets pour bébés sont des cubes. Et Rubik's Cube est amusant pour les plus grands.

Comment le cube est-il connecté aux autres figures et corps?

Si nous dessinons une section d'un cube qui traverse ses trois faces, elle ressemblera à un triangle. En vous éloignant du haut, la section sera plus grande. Il viendra un moment où 4 faces se rejoindront déjà et la figure en coupe deviendra un quadrilatère. Si vous tracez une section perpendiculaire à ses diagonales principales au centre du cube, vous obtenez un hexagone régulier.

À l'intérieur du cube, vous pouvez dessiner un tétraèdre (pyramide triangulaire). Un de ses coins est pris au sommet du tétraèdre. Les trois autres coïncident avec les sommets situés aux extrémités opposées des bords du coin sélectionné du cube.

Un octaèdre (un polyèdre convexe régulier qui ressemble à deux pyramides reliées) peut y être entré. Pour ce faire, recherchez les centres de toutes les faces du cube. Ils seront les sommets de l'octaèdre.

L’opération inverse est également possible, c’est-à-dire qu’il est possible d’entrer un cube dans l’octaèdre. Ce n’est que maintenant que les centres des faces de la première deviendront les sommets de la seconde.

Méthode 1: calculer l'aire d'un cube par son bord

Pour calculer la surface totale d'un cube, il est nécessaire de connaître l'un de ses éléments. Le moyen le plus simple de résoudre lorsque son bord est connu ou, en d’autres termes, le côté du carré qui le compose. Habituellement, cette valeur est désignée par la lettre latine "a".

Nous devons maintenant rappeler la formule par laquelle le carré est calculé. Afin de ne pas vous embrouiller, sa désignation est introduite par la lettre S1.

Pour plus de commodité, il est préférable de définir des chiffres pour toutes les formules. Ce sera le premier.

Mais c'est la zone d'un seul carré. Il y en a six: 4 sur les côtés et 2 en bas et en haut. La surface du cube est ensuite calculée à l'aide de la formule suivante: S = 6 * a 2. Son numéro est le 2.

Méthode 2: comment calculer la surface si le volume corporel est connu

Cette méthode revient à compter la longueur de la côte sur un volume connu. Et puis utilisez la formule bien connue, qui est indiquée par le nombre 2 ici.

De l'expression mathématique pour le volume de l'hexaèdre, on en déduit à partir duquel la longueur de la côte peut être calculée. La voici:

La numérotation continue et le numéro 3 est déjà là.

Maintenant, il peut être calculé et substitué dans la deuxième formule. Si nous agissons conformément aux normes mathématiques, il nous faut dériver l'expression suivante:

C'est la formule de la surface totale du cube, utilisable si le volume est connu. Le numéro de cette entrée est 4.

Méthode 3: calculer l'aire le long de la diagonale d'un cube

Pour calculer l'aire de la surface totale du cube, il est également nécessaire de tracer une arête à travers la diagonale connue. Nous utilisons ici la formule de la diagonale principale de l'hexaèdre:

Il est facile de dériver une expression pour le bord du cube:

C'est la sixième formule. Après le calcul, vous pouvez à nouveau utiliser la formule sous le deuxième nombre. Mais il vaut mieux écrire ceci:

Il s’avère être numéroté 7. Si vous regardez attentivement, vous remarquerez que la dernière formule est plus pratique qu’un calcul échelonné.

Méthode 4: comment utiliser le rayon du cercle inscrit ou entouré pour calculer l'aire du cube

Si nous désignons le rayon du cercle décrit près de l'hexaèdre par la lettre R, la surface du cube sera facilement calculée à l'aide de la formule suivante:

Son numéro de série est 8. Il est facile à obtenir du fait que le diamètre du cercle coïncide complètement avec la diagonale principale.

En indiquant le rayon du cercle inscrit par la lettre latine r, nous pouvons obtenir la formule suivante pour l'aire de la surface entière de l'hexaèdre:

Quelques mots sur la surface latérale de l'hexaèdre

Si le problème nécessite de trouver l'aire de la surface latérale du cube, vous devez utiliser la technique déjà décrite ci-dessus. Lorsque le bord du corps est déjà défini, il suffit alors de multiplier par 4 la surface carrée. Ce chiffre est dû au fait que le cube ne comporte que 4 faces latérales. La notation mathématique de cette expression est la suivante:

Son nombre est 10. Si d'autres quantités sont données, elles sont alors similaires aux méthodes décrites ci-dessus.

Exemples de tâches

Première condition. La surface du cube est connue. C'est 200 cm². Il est nécessaire de calculer la diagonale principale du cube.

1 voie. Vous devez utiliser la formule indiquée par le chiffre 2. Il sera facile de déduire "a". Cette notation mathématique ressemblera à la racine carrée du quotient, égale à S par 6. Après avoir substitué les nombres, il s'avère:

a = √ (200/6) = √ (100/3) = 10 √3 (cm).

La cinquième formule vous permet de calculer immédiatement la diagonale principale du cube. Pour ce faire, vous devez multiplier la valeur du bord par √3. C'est simple La réponse est que la diagonale est de 10 cm.

2 voies. Si vous oubliez la formule de la diagonale, je me souviens du théorème de Pythagore.

Semblable à ce qui était dans la première méthode, trouvez le bord. Ensuite, nous devons écrire le théorème pour l'hypoténuse deux fois: le premier pour le triangle sur la face, le second pour celui qui contient la diagonale désirée.

x² = a² + a², où x est la diagonale du carré.

d² = x² + a² = a² + a² + a² = 3 a². À partir de cette entrée, il est facile de voir comment la formule de la diagonale est obtenue. Et puis tous les calculs seront, comme dans la première méthode. C'est un peu plus long, mais vous permet de ne pas mémoriser la formule, mais de l'obtenir vous-même.

Réponse: la diagonale du cube est de 10 cm.

La deuxième condition. À partir de la surface connue, qui est égale à 54 cm 2, calcule le volume du cube.

À l'aide de la formule située sous le deuxième numéro, vous devez connaître la valeur du bord du cube. La façon dont cela est fait est décrite en détail dans la première méthode de résolution du problème précédent. Après tous les calculs, on obtient que a = 3 cm.

Maintenant, vous devez utiliser la formule du volume du cube, dans laquelle la longueur de la côte est augmentée au troisième degré. Le volume sera donc considéré comme suit: V = 3 3 = 27 cm 3.

Réponse: le volume du cube est de 27 cm 3.

La troisième condition. Il est nécessaire de rechercher le bord du cube pour lequel la condition suivante est remplie. Lorsque la nervure est augmentée de 9 unités, la surface totale augmente de 594.

Comme il n'y a pas de chiffres explicites dans le problème, seule la différence entre ce qui s'est passé et ce qui est devenu, nous devons introduire une notation supplémentaire. Ce n'est pas difficile. Laissez la valeur désirée égale à "a". Alors le bord agrandi du cube sera égal à (a + 9).

Sachant cela, vous devez écrire deux fois la formule de la surface du cube. Le premier - pour la valeur initiale du bord - coïncidera avec celui qui est numéroté par le nombre 2. Le second sera légèrement différent. Dans celui-ci, au lieu de "a", vous devez écrire la somme (a + 9). Puisque le problème concerne la différence de surface, vous devez alors soustraire le plus petit du plus grand:

6 * (a + 9) 2 - 6 * a 2 = 594.

Besoin de mener à bien la transformation. Commencez par placer la parenthèse 6 à gauche de l’égalité, puis simplifiez ce qui reste entre parenthèses. À savoir (a + 9) 2 - a 2. Voici la différence des carrés qui peut être transformée comme suit: (a + 9 - a) (a + 9 + a). Après avoir simplifié l'expression, nous obtenons 9 (2a + 9).

Maintenant, vous devez le multiplier par 6, c'est-à-dire le nombre qui se trouvait devant le crochet et égal à 594: 54 (2a + 9) = 594. Il s'agit d'une équation linéaire à un inconnu. C'est facile à résoudre. Vous devez d’abord ouvrir les crochets, puis transférer le terme avec une valeur inconnue à gauche de l’égalité et les chiffres à droite. L'équation suivante sera obtenue: 2a = 2. On peut voir que la valeur souhaitée est 1.