Conseils utiles

Intersection de lignes

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Le nombre de sources utilisées dans cet article: 6. Vous en trouverez une liste au bas de la page.

Dans un espace à deux dimensions, deux lignes se coupent en un seul point défini par les coordonnées (x, y). Puisque les deux lignes passent par le point d'intersection, les coordonnées (x, y) doivent satisfaire les deux équations décrivant ces lignes. En utilisant certaines compétences supplémentaires, vous pouvez trouver les points d'intersection des paraboles et d'autres courbes quadratiques.

Le point d'intersection de deux lignes sur le plan

Si le système d'équations:

  • a seule solutionalors les lignes se croisent,
  • a des solutions sans finalors les lignes correspondent,
  • n'a pas de décisionsalors les lignes droites ne se croisent pas (lignes parallèles les unes aux autres)

Solution: Pour calculer les coordonnées du point d'intersection des lignes, nous résolvons le système d'équations:

y = 2 x - 1 y = -3 x + 1

Soustrayez la seconde de la première équation

y - y = 2 x - 1 - (-3 x + 1) y = -3 x + 1 => 0 = 5 x - 2 y = -3 x + 1

A partir de la première équation, on trouve la valeur de x

5 x = 2 y = -3 x + 1 => x = 2 5 = 0,4 y = -3 x + 1

Substituez la valeur de x dans la deuxième équation et trouvez la valeur de y

x = 0,4 y = -3. (0,4) + 1 = -1,2 + 1 = -0,2

La réponse. Le point d'intersection de deux lignes a des coordonnées (0.4, -0.2)

Solution: Pour calculer les coordonnées du point d'intersection des lignes, nous résolvons le système d'équations:

y = 2 x - 1 x = 2 t + 1 y = t

Dans la première équation, nous substituons les valeurs de x et y des deuxième et troisième équations.

t = 2. (2 t + 1) - 1 x = 2 t + 1 y = t => t = 4 t + 1 x = 2 t + 1 y = t =>

-3 t = 1 x = 2 t + 1 y = t => t = - 1 3 x = 2 t + 1 y = t

Substituez la valeur de t dans les deuxième et troisième équations

t = - 1 3 x = 2. (- 1 3) + 1 = - 2 3 + 1 = 1 3 y = - 1 3

La réponse. Le point d'intersection de deux lignes a des coordonnées (1 3, - 1 3)

Solution: Pour calculer les coordonnées du point d'intersection des lignes, nous résolvons le système d'équations:

2 x + 3 y = 0 x - 2 3 = y 4

À partir de la deuxième équation, nous exprimons y en termes de x

2 x + 3 y = 0 y = 4 x - 2 3

Remplacez y dans la première équation

2 x + 3. 4. X - 2 3 = 0 y = 4. X - 2 3 => 2 x + 4. (X - 2) = 0 y = 4. X - 2 3 =>

2 x + 4 x - 8 = 0 y = 4 x x 2 3 => 6 x = 8 y = 4 x x 2 3 =>

x = 8 6 = 4 3 y = 4 · x - 2 3 => x = 8 6 = 4 3 y = 4 · 4/3 - 2 3 = 4 · -2/3 3 = - 8 9

La réponse. Le point d'intersection de deux lignes a des coordonnées (4 3, - 8 9)

Solution: Les deux lignes sont données par des équations à coefficient angulaire. Depuis k 1 = k 2 = 2, alors les lignes sont parallèles. Puisque ces lignes ne coïncident pas, il n'y a pas de points d'intersection.

Nous allons également résoudre ce problème en utilisant le système d'équations:

y = 2 x - 1 y = 2 x + 1

Soustrayez la seconde de la première équation

y - y = 2 x - 1 - (2 x + 1) y = -3 x + 1 => 0 = -2 y = -3 x + 1

Dans la première équation, nous avons une contradiction (0 -2), ce qui signifie que le système n'a pas de solution - il n'y a pas de points d'intersection de lignes (les lignes sont parallèles).

La réponse. Les lignes ne se croisent pas (les lignes sont parallèles).

Solution: Nous substituons les coordonnées du point N dans l'équation des lignes.

La réponse. Comme les deux équations ont été identifiées, le point N est le point d'intersection de ces lignes.

Le point d'intersection de deux lignes dans l'espace

Si le système d'équations:

  • a une solution unique, alors les lignes se croisent,
  • a un nombre infini de solutions, alors les lignes coïncident,
  • n'a pas de solution, alors les lignes ne se croisent pas (les lignes sont parallèles ou se croisent)

Solution: Nous composons un système d'équations

x - 1 = ay - 1 = az - 1 = ax - 3 -2 = b 2 - y = bz = b => x = a + 1 y = a + 1 z = a + 1 x - 3 -2 = b 2 - y = bz = b =>

Nous substituons les valeurs de x, y, z de 1, 2, 3 équations en 4, 5, 6 équations

x = a + 1 y = a + 1 z = a + 1 a + 1 - 3 -2 = b 2 - (a + 1) = ba + 1 = b => x = a + 1 y = a + 1 z = a + 1 a - 2 -2 = b 1 - a = ba + 1 = b

Ajouter la cinquième équation à la sixième équation

x = a + 1 y = a + 1 z = a + 1 a - 2 -2 = b 1 - a = ba + 1 + (1 - a) = b + b => x = a + 1 y = a + 1 z = a + 1 a - 2 -2 = b 1 - a = bb = 1

Nous substituons la valeur de b dans les quatrième et cinquième équations

x = a + 1 y = a + 1 z = a + 1 a - 2 -2 = 1 1 - a = 1 b = 1 => x = a + 1 y = a + 1 z = a + 1 a - 2 = -2 a = 0 b = 1 =>

x = a + 1 y = a + 1 z = a + 1 a = 0 a = 0 b = 1 => x = 0 + 1 = 1 y = 0 + 1 = 1 z = 0 + 1 = 1 a = 0 a = 0 b = 1

La réponse. Les lignes se croisent au point avec les coordonnées (1, 1, 1).

Solution: Nous composons un système d'équations en remplaçant le paramètre t par un dans la deuxième équation

x = 2 t - 3 y = t z = - t + 2 x = a + 1 y = 3 a - 2 z = 3

Nous substituons les valeurs de x, y, z de 1, 2, 3 équations en 4, 5, 6 équations

x = 2 t - 3 y = tz = - t + 2 2 t - 3 = a + 1 t = 3 a - 2 - t + 2 = 3 => x = 2 t - 3 y = tz = - t + 2 2 t = a + 4 t = 3 a - 2 t = -1 =>

Nous substituons la valeur de t de la sixième équation dans les équations restantes

x = 2. (-1) - 3 y = (-1) z = - (- 1) + 2 2. (-1) = a + 4 -1 = 3 a - 2 t = -1 => x = -5 y = -1 z = 3 a = -6 a = 1 3 t = -1

La réponse. Depuis -6 ≠ 1 3, les lignes ne se croisent pas.

Le point d'intersection des lignes dans l'espace - théorie, exemples et solutions

  • Contenu
  • 1. Le point d'intersection des lignes donné sous forme canonique.
  • 2. Le point d'intersection des lignes défini sous une forme paramétrique.
  • 3. Le point d'intersection des lignes donné sous différentes formes.
  • 4. Exemples de recherche du point d'intersection de lignes dans l'espace.

1. Le point d'intersection des lignes dans l'espace défini sous forme canonique.

Donne un système de coordonnées cartésiennes rectangulaires Oxyz et laisser les lignes droites dans ce système de coordonnées L1 et L2:

,(1)
,(2)

Trouver le point d'intersection des lignes L1 et L2 (Fig. 1).

Nous écrivons l'équation (1) sous la forme d'un système de deux équations linéaires:

,(3)
(4)

Multiplions-nous dans les équations (3) et (4):

p1(xx1)=m1(yy1)
l1(yy1)=p1(zz1)

Ouvrez les crochets et traduisez les variables à gauche des équations et les éléments restants à droite:

p1xm1y=p1x1m1y1,(5)
l1yp1z=l1y1p1z1.(6)

De même, on transforme l'équation (2):

Nous écrivons l'équation (2) sous la forme d'un système de deux équations linéaires:

,(7)
(8)

Multiplions-nous dans les équations (7) et (8):

p2(xx2)=m2(yy2)
l2(yy2)=p2(zz2)

Ouvrez les crochets et traduisez les variables à gauche des équations et les éléments restants à droite:

p2xm2y=p2x2m2y2,(9)
l2yp2z=l2y2p2z2.(10)

Nous résolvons le système d'équations linéaires (5), (6), (9), (10) avec trois inconnues x, y, z. Pour ce faire, imaginez ce système sous forme de matrice:

(11)

Comment résoudre le système d’équations linéaires (11) (ou (5), (6), (9), (10)), voir la page de la méthode de Gauss en ligne. Si le système d'équations linéaires (11) est incompatible, alors les lignes L1 et L2 ne pas se croiser. Si le système (11) a beaucoup de solutions, alors les lignes L1 et L2 faire correspondre. La seule solution au système d'équations linéaires (11) indique que cette solution détermine les coordonnées du point d'intersection des lignes L1 et L2 .

2. Le point d'intersection des droites dans l'espace défini sous une forme paramétrique.

Donne un système de coordonnées cartésiennes rectangulaires Oxyz et laisser les lignes droites dans ce système de coordonnées L1 et L2 sous forme paramétrique:

(12)
(13)

Le problème de trouver le point d'intersection des lignes L1 et L2 peut être résolu par différentes méthodes.

Méthode 1. On donne les équations de lignes L1 et L2 à la forme canonique.

Pour amener l'équation (12) à la forme canonique, nous exprimons le paramètre t à travers le reste des variables:

(14)

Puisque les côtés gauches des équations (14) sont égaux, on peut écrire:

(15)

De même, nous donnons l'équation de la ligne L2 à la forme canonique:

(16)

Ensuite, utilisez le paragraphe 1 pour trouver le point d'intersection des lignes donné sous forme canonique.

Méthode 2. Pour trouver le point d'intersection des lignes L1 et L2 résoudre conjointement les équations (12) et (13). Des équations (12) et (13), il s'ensuit:

(17)
(18)
(19)

Dans chaque équation (17), (18), (19), on trouve la variable t. Plus loin des valeurs obtenues t nous choisissons ceux qui satisfont toutes les équations (17) - (19). Si une telle valeur t n'existe pas, les lignes ne se croisent pas. S'il existe plusieurs valeurs de ce type, les lignes coïncident. Si une telle valeur t la seule chose substituant cette conception t en (12) ou en (13), on obtient les coordonnées du point d'intersection des lignes (12) et (13).

4. Exemples de recherche du point d'intersection de lignes dans l'espace.

Exemple 1. Trouver le point d'intersection des lignes L1 et L2:

(20)
(21)

Nous représentons l'équation (20) sous la forme de deux équations:

(22)
(23)

Nous allons multiplier par croisement dans les équations (22) et (23):

Ouvrez les crochets et traduisez les variables à gauche des équations et les éléments restants à droite:

Nous allons faire la même chose avec l'équation (2).

Nous représentons l'équation (2) sous la forme de deux équations:

(26)
(27)

Multiplication croisée dans les équations (7) et (8)

Ouvrez les crochets et traduisez les variables à gauche des équations et les éléments restants à droite:

Nous résolvons le système d'équations linéaires (24), (25), (28), (29) à trois inconnues x, y, z. Pour ce faire, nous représentons ce système sous la forme d’une équation matricielle:

(30)

Nous résolvons le système d'équations linéaires (30) en ce qui concerne x, y, z. Pour résoudre le système, nous construisons une matrice étendue:

Noter par unij les éléments jela rangée et je colonne.

Première étape. Le parcours direct de Gauss.

Exclure les éléments de la 1ère colonne de la matrice en dessous de l'élément un1 1. Pour ce faire, ajoutez la ligne 3 avec la ligne 1 fois −1:

Exclure les éléments de la 2ème colonne de la matrice en dessous de l'élément un22. Pour ce faire, ajoutez la ligne 4 à la ligne 2 fois −1/4:

Faisons une permutation des lignes 3 et 4.

Deuxième étape. Gauss revient coup.

Exclure les éléments de la 3ème colonne de la matrice au-dessus de l'élément un33. Pour ce faire, ajoutez la ligne 2 à la ligne 3 fois −4/3:

Exclure les éléments de la 2e colonne de la matrice au-dessus de l'élément un22. Pour ce faire, ajoutez la ligne 1 à la ligne 2 fois 3/4:

Divisez chaque ligne de la matrice par l'élément principal correspondant (si l'élément principal existe):

La réponse. Point d'intersection de la ligne L1 et L2 a les coordonnées suivantes:

Exemple 2. Trouver le point d'intersection des lignes L1 et L2:

(31)
(32)

Nous donnons l'équation paramétrique de la ligne L1 à la forme canonique. Nous exprimons le paramètre t en fonction des variables restantes:

À partir des égalités ci-dessus, nous obtenons l'équation canonique de la ligne:

(33)

Nous représentons l'équation (33) sous la forme de deux équations:

(34)
(35)

Nous faisons la multiplication croisée dans les équations (34 et (35):

Ouvrez les crochets et traduisez les variables à gauche des équations et les éléments restants à droite:

(36)
.(37)

Nous allons faire la même chose avec l'équation (2).

Nous représentons l'équation (2) sous la forme de deux équations:

(38)
(39)

Multiplication croisée dans les équations (38) et (39)

Ouvrez les crochets et traduisez les variables à gauche des équations et les éléments restants à droite:

Nous résolvons le système d'équations linéaires (36), (37), (40), (41) à trois inconnues x, y, z. Pour ce faire, nous représentons ce système sous la forme d’une équation matricielle:

(42)

Nous résolvons le système d'équations linéaires (42) en ce qui concerne x, y, z. Pour résoudre le système, nous construisons une matrice étendue:

Noter par unij les éléments jela rangée et je colonne.

Première étape. Le parcours direct de Gauss.

Exclure les éléments de la 1ère colonne de la matrice en dessous de l'élément un1 1. Pour ce faire, ajoutez la ligne 3 à la ligne 1 fois −1/6:

Exclure les éléments de la 2ème colonne de la matrice en dessous de l'élément un22. Pour ce faire, ajoutez les lignes 3 et 4 avec la ligne 2 fois 8/21 et -1/7, respectivement:

Exclure les éléments de la 3ème colonne de la matrice sous l'élémentun33. Pour ce faire, ajoutez la ligne 4 à la ligne 3 fois -1/16:

À partir de la matrice développée, nous reconstruisons le dernier système d’équations linéaires:

(43)

L'équation (43) est incompatible car les nombres n'existent pas x, y, z équation satisfaisante (43). Par conséquent, le système d'équations linéaires (42) n'a pas de solution. Puis tout droit L1 et L2 ne vous croisez pas. C'est-à-dire qu'ils sont parallèles ou croisés.

Direct L1 a un vecteur de direction q1= <2,6,7> et la ligne L2 a un vecteur de direction q2= <3,1,1>. Ces vecteurs ne sont pas colinéaires. Donc directe L1 et L2 sont croisés.

Regarde la vidéo: Code de la Route - Les lignes de délimitation de voies (Décembre 2019).